TÜREV VE İNTEGRALİ ANLAMAK

Matematiğin en önemli kavramlarından ikisi türev ve integraldir. Özellikle lise düzeyinde bu kavramların öğretilmesi ezber yöntemlere dayanmaktadır. Aşağıda bu kavramların yaşamla ilgisi kurularak, anlamaya dayalı bir yöntemle anlatılabilineceğini savunan bir yazı paylaşılacaktır.  Çağrı Mert Bakırcı’ya ait olan yazının bir bölümü kullanılmıştır.

·      Türev ve integral kavramlarını bir formülün içine sıkıştırıp anlatmak öğrenciyi en başından korkutur mu?

·      Gerçek hayatta türev ve integral ne işimize yarayacak?

·      Bu kavramların gerçek dünyamızdaki karşılığı ne?

Aşağıdaki yazı bu sorularımıza yanıt olabilir mi? Buna, sevgili okurlarımız karar versin.

 Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?

21. yüzyıl itibariyle gördüğünüz teknolojilerin neredeyse istisnasız olarak her biri, türev ve integrale dayalıdır! Dolayısıyla gelin bu iki kavramın gerçekten ne olduğunu, basit bir şekilde anlayalım:

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki... Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:

·            Türev, bir şeyin bir diğer şeye göre değişim miktardır. Yani türev, "değişim"i ölçmek için kullanılır. Genellikle türevi bir şeyin zaman geçtikçe ne kadar değiştiğini hesaplamak veya ifade etmek için kullanırız. Bunu az sonra örneklendireceğiz.

·            İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da "biriken değişim miktarını" ifade etmek için kullanılır. Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin saatte 1 veya günde 1) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranı türevdir! Zamanı saatle ölçersiniz, dersiniz ki 8 saat geçmiş, buna 8 birim zaman diyelim. Kovaya bakarsınız, boşken 8 litre dolmuş. Kovadaki bu hacim değişiminin, zamandaki değişime oranı türevdir!

Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş (ya da genel olarak, değişen hızlarda) akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat sonuç değişmez.

Akan bir tavanın doldurduğu kova türev ile hesaplanabilir.     İşte tavanın akıtma hızını matematiksel olarak ifade eden formül her neyse, o formülün zamana göre "türevini almak", birim zamandaki değişim miktarını bulmanızı sağlar. Eğer tavan her saniye 1 damla akıtıyorsa, bu davranış V=t formülüyle temsil edilebilir. Neden? Çünkü t, yani zaman her 1 birim (örneğin 1 saniye) arttığında, hacim de 1 birim (örneğin 1 damla) artacaktır. 10 saniye sonra, kovada 10 damla su bulunacaktır.

Peki ya değişim? Türevini alalım: y=t formülünün t'ye göre türevi 1'dir. Bu işlemin nasıl yapıldığına dair de birçok anlatım yapılabilir; ancak lisede öğrendiğiniz düz mantıkla, bir formülün türevinin nasıl alındığını bildiğinizi varsayıyoruz. Yani y=t formülünde, y'nin t'ye göre türevi, t'nin herhangi bir üssü olmadığı için, doğrudan önündeki katsayıya eşittir. Bu da 1'dir. (…)

Peki, diyelim ki kovamızın başına sandalyemizi çektik ve bir gözlem yaptık. Bu gözlem sonucunda şu verileri topladık:

·        İlk başta kovada su yok.

·        1. saniye sonunda kovada 2 damla su birikti. Artış 2 damla.

·        2. saniye sonunda kovada 8 damla su birikti. Artış 6 damla.

·        3. saniye sonunda kovada 18 damla su birikti. Artış 10 damla.

·        4. saniye sonunda kovada 32 damla su birikti. Artış 14 damla.

Ve böyle devam ediyor...

İşte bu hacim değişiminin formüle dönüştürmek isterseniz, karşınıza V=2t² çıkacaktır. Örneğin 4. saniyede toplam hacmi bulmak için, t'yi 4 alırsanız, V, yani hacim 32 damla olacaktır. Gerçekten de, her saniyede damlayan miktarı birbirine ekleyecek olursanız 2+6+10+14=32'dir! (…) Bu durumda değişim miktarı için, formülün t'ye göre türevini alacak olursak, bu türev V′=4t olacaktır.

Bunu ilk etapta görmesi bir anlığına zor olabilir; ancak suyumuz düzenli olarak sızdırmak yerine, bir anda birkaç damla halinde kovamıza damlamakta. Böyle düşünecek olursanız, 1. saniye ile 2. saniye arasında geçen 1 saniyelik sürenin tamamı boyunca akıtmadığını, diyelim ki tam ortasında, yani 1.5'inci saniyede birden akıttığını varsayalım. Gerçekten de, 1.5 saniye ile 4'ü çarpacak olursak, 6 damlalık bir artış görürüz. Verilerimize bakacak olursak, 1 ila 2. saniyeler arasında 6 damla arttığını görürüz. Benzer şekilde, 3. saniye ile 4. saniye arasındaki değişimin tam da 3.5'inci saniyede olduğunu varsayarsak, 3.5×4=14 damla olacaktır. Verilerimiz ile birebir örtüşüyor!

Ama sorabilirsiniz, ya musluk sürekli akıtsaydı? Hiç fark etmez! O zaman yukarıdaki gibi saniyelere bölünmüş bir hesap değil de, anlık olarak ölçebileceğiniz bir hesap yapardık. Bu durumda "damlalar" bazında değil de hacim olarak, yani "litre" olarak düşünebiliriz. Formülümüz aynıdır: Eğer bir saat alıp, tam 3.2 saniyede kaç litre su biriktiğini ölçmek isterseniz, t yerine 3.2 yazabilirsiniz: V=2(3.2)²=20.48L.

Bu sayının, yukarıdaki ölçümümüzde 18 ila 32 damla arasında yer alması çok mantıklıdır. Kovaya damlayan su, kovayı zamanla doldurur.

Görebileceğiniz gibi değişimin yapısı basitse, türev de son derece basittir. Çoğu zaman türev, çok basit düzeyde çarpım, toplam ve üs alma işlemlerinden ibarettir. İşler zorlaşırsa, basitçe bir tabloya bakarak neyin türevinin nasıl alındığını bulabilirsiniz. (…) Logaritmanın türevini ezberlemek sizi dâhi yapmaz; onu nasıl kullanacağınızı bilip, bu aracı kullanarak değişim yaratmak sizi dâhi yapar. Türev gibi olun, değişim yaratın!

Bünyesinde değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. Bu bakımdan türev, evrimsel biyoloji için de çok kıymetlidir. Çünkü evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının nesiller içerisindeki değişimdir. Bu, aynı zamanda türevin tanımının ta kendisidir! Dolayısıyla matematiksel evrim çalışmalarında türev kavramı hemen her yerdedir! (…)           

Görseldeki İntegrali Anlamak

(…)görselimizdeki (…)"edebî integrali" ele alalım. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik.

Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen "yaşam", integral işleminin sonucudur. Yani integral hesabını yaparak tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır. Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim:

Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.

Bu cümlenin integral ifadesi, (…)görseldeki gibidir. Adım adım takip edelim:

·     Önce, değişken belirlenmelidir. Yani "Değişen şey ne?" kendimize bunu sormalıyız. Burada değişen şey, zamandır.

·     Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.

·   İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan  işareti) altına, değişkenin (bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır: doğum. Elde ettiğimiz son durum: 

·   Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm. Son durumda formülümüz: 

·     İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla "mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak da yapılabilirdi.

Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır. Son durumda elde ettiğimiz:  

·       Son olarak değişken Δ işaretiyle (ya da genelde "d" harfiyle) birlikte yazılır. Δzaman "birim zaman" demektir. Elimizde olan son formül şöyle:  İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!  

Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır.

Bu örnekte atlanan en temel nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. (…)

Örneğin, mutluluğu yaşamdaki ufak başarılar olarak tanımlayacak olursak, bunu "belli bir düzeni takip eden birden fazla terimin toplamı" anlamına gelen meşhur ∑ işaretiyle ifade edip görselde "mutluluk" yerine   yazabilirdik. Daha sonra bunu bir matematiksel formüle dönüştürebilir ve liselerde öğrendiğimiz yöntemleri kullanarak o formülün integralini alabilirdik. Ancak burada önemli olan, integralin nasıl alındığı değil; neden alındığı. (…)Unutmayın:İntegral tablolarını ezberlemek sizi uzman yapmaz; uzmanlık, o tabloyu nasıl kullanacağınızı bilmektir.

Grafiklerin Türev ve İntegralini Gerçekten Anlamak

Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "Türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir." İyi de neden?

Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bu çizginin herhangi bir noktasındaki (…)değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir.

Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir.(…) O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır!

Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir.

Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: İlki, fiziktir. Liselerde ezberlediğimiz bir diğer cümleyi ele alalım: "Konum, hızın zamana göre integralidir." Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konum değişimini verir. Anlaması, tıpkı lise sıralarında olduğu gibi zor, değil mi?

Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir. 

Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. (…) İkisini birbirinin tersi olarak düşünebilirsiniz; fakat ufkunuzu bu basit zıtlıkla sınırlandırmayın. Her birinin kendi içindeki önemini, daha önemlisi anlamını kavrayın.

Kaynaklar ve İleri Okuma

1.      R. Nave. Derivatives And Integrals. (10 Mayıs 2019). Alındığı Tarih: 10 Mayıs 2019. Alındığı Yer: Hyper Physics | Arşiv Bağlantısı

2.      Math Is Fun. Introduction To Integration. (10 Mayıs 2017). Alındığı Tarih: 10 Mayıs 2019. Alındığı Yer: Math Is Fun | Arşiv Bağlantısı

3.     Better Explained. Calculus: Building Intuition For The Derivative. (10 Mayıs 2019). Alındığı Tarih: 10 Mayıs 2019. Alındığı Yer: Better Explained | Arşiv Bağlantısı